Tứ diện đều

Tính chất tứ diện đều

Tứ diện đều

1. Tứ diện
2. Tứ diện đều
3. Tính chất tứ diện đều
4. Cách vẽ tứ diện đều
5. Thể tích tứ diện đều
6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a
4. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

VnDoc xin mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Tứ diện đều được VnDoc.com tổng hợp và biên soạn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng theo dõi bài viết dưới đây.

1. Tứ diện

Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được kí hiệu A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.
Ví dụ: Chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.

2. Tứ diện đều

Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.
Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

3. Tính chất tứ diện đều

- Tứ diện đều có các tính chất như sau:

+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.

+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.
+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

4. Cách vẽ tứ diện đều

Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.

Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này
Bước 5: Tiến hành dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.

5. Thể tích tứ diện đều

- Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:

+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: $V=\dfrac{1}{3}.S_{BCD}.AH$
+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: $V=\dfrac{1}{3}.B.h$

6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra

Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là _{$h = AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$}
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là _{$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$}

4. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Câu 1: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:

$A. \frac{a^3}{3}$ $A. \frac{a^3}{3}$	$B.\frac{a^3\sqrt{6} }{12}$ $B.\frac{a^3\sqrt{6} }{12}$
$C.\frac{a^3\sqrt{2} }{12}$ $C.\frac{a^3\sqrt{2} }{12}$	$D.\frac{a^3\sqrt{3} }{12}$ $D.\frac{a^3\sqrt{3} }{12}$

Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

A. 4 mặt phẳng	B. 6 mặt phẳng
C. 8 mặt phẳng	D. 10 mặt phẳng

Câu 3: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:

A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.

D. Các đỉnh của một hình tứ diện.

Câu 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

$A.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{4}$ $A.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{4}$	$B.V=\frac{\sqrt{13}a^3 }{12}$ $B.V=\frac{\sqrt{13}a^3 }{12}$
$C.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{12}$ $C.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{12}$	$D.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{6}$ $D.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{6}$

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên bằng _{$\frac{a\sqrt{21} }{6}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC.}

$A.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{6}$ $A.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{6}$	$B.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{8}$ $B.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{8}$
$C.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{12}$ $C.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{12}$	$D.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{24}$ $D.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{24}$

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. tính thể tích của khối chóp A.GBC.

$A.V=4$	$B.V=5$
$C.V=3$	$D.V=6$

Câu 7: Cho tứ diện đều ABCD có canh 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

$A.V=\frac{1}{3}a^3$ $A.V=\frac{1}{3}a^3$	$B.V=\frac{\sqrt{2}a^3 }{3}$ $B.V=\frac{\sqrt{2}a^3 }{3}$
$A.V=\frac{2\sqrt{2}a^3 }{3}$ $A.V=\frac{2\sqrt{2}a^3 }{3}$	$A.V=\frac{2a^3 }{3}$ $A.V=\frac{2a^3 }{3}$

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có canh _{$\sqrt{2} a$}. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

$A.V=\frac{2a^3}{3}$ $A.V=\frac{2a^3}{3}$	$B.\frac{\sqrt{2}a^3}{3}$ $B.\frac{\sqrt{2}a^3}{3}$
$C.V=\frac{a^3}{3}$ $C.V=\frac{a^3}{3}$	$D.V=\frac{4a^3}{3}$ $D.V=\frac{4a^3}{3}$

Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 1. Tìm độ dài các cạnh của tứ diện

A. $2\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$

B. $3\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$

C. $6\sqrt{2}$ $6\sqrt{2}$

D. $\sqrt[3]{6\sqrt{2}}$ $\sqrt[3]{6\sqrt{2}}$

Bài tập tự luận

Bài 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải

a) Vì là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên thể tích là

Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 5 cm. Hỏi thế tích bằng bao nhiêub) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên thể tích là

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên thể tích

Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Lời giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC). Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

Bài 3: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa AB và CD?

Bài 5: Cho ABCD là tứ diện đều, cạnh a. Kéo dài BC 1 đoạn CE = a. Kéo dài BD 1 đoạn DF = a. M là trung điểm của AB.

a. Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF).

b. Tính diện tích của thiết diện theo a.

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Thể tích tứ diện đều. Bài viết giúp chúng ta nắm được nội dung khái niệm về tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều, nhận biết được các tính chất của tứ diện đều. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 11 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Trắc nghiệm Toán 11

Hình lăng trụ là gì? Lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều, lục giác
Hệ thống kiến thức hình Oxyz
Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Trọng tâm của tứ diện là gì?
Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11
Công Thức Toán 11 đầy đủ
Bài tập trắc nghiệm Toán 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

$A. \frac{a^3}{3}$ \(A. \frac{a^3}{3}\)	$B.\frac{a^3\sqrt{6} }{12}$ \(B.\frac{a^3\sqrt{6} }{12}\)
$C.\frac{a^3\sqrt{2} }{12}$ \(C.\frac{a^3\sqrt{2} }{12}\)	$D.\frac{a^3\sqrt{3} }{12}$ \(D.\frac{a^3\sqrt{3} }{12}\)

$A.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{4}$ \(A.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{4}\)	$B.V=\frac{\sqrt{13}a^3 }{12}$ \(B.V=\frac{\sqrt{13}a^3 }{12}\)
$C.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{12}$ \(C.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{12}\)	$D.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{6}$ \(D.V=\frac{\sqrt{11}a^3 }{6}\)

$A.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{6}$ \(A.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{6}\)	$B.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{8}$ \(B.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{8}\)
$C.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{12}$ \(C.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{12}\)	$D.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{24}$ \(D.V=\frac{\sqrt{3}a^3 }{24}\)

\(A.V=4\)	\(B.V=5\)
\(C.V=3\)	\(D.V=6\)

$A.V=\frac{1}{3}a^3$ \(A.V=\frac{1}{3}a^3\)	$B.V=\frac{\sqrt{2}a^3 }{3}$ \(B.V=\frac{\sqrt{2}a^3 }{3}\)
$A.V=\frac{2\sqrt{2}a^3 }{3}$ \(A.V=\frac{2\sqrt{2}a^3 }{3}\)	$A.V=\frac{2a^3 }{3}$ \(A.V=\frac{2a^3 }{3}\)

$A.V=\frac{2a^3}{3}$ \(A.V=\frac{2a^3}{3}\)	$B.\frac{\sqrt{2}a^3}{3}$ \(B.\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\)
$C.V=\frac{a^3}{3}$ \(C.V=\frac{a^3}{3}\)	$D.V=\frac{4a^3}{3}$ \(D.V=\frac{4a^3}{3}\)