Lý thuyết hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những lý thuyết quan trọng nhất mà các em cần nắm vững ở cấp THCS. Hãy cùng Cmath tìm hiểu kiến thức thú vị này qua bài viết dưới đây ngay thôi nào
Lý thuyết cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ
Chúng ta cùng nhau tìm hiểu về các hằng đẳng thức đáng nhớ được học trong chương trình Toán lớp 8 nhé!
Bình phương của một tổng
Muốn tính bình phương của một tổng, ta lấy bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của cả hai số và cộng với bình phương của số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là A, số thứ 2 là B thì ta có công thức sau:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Bình phương của một hiệu
Bình phương của một hiệu cũng là công thức các em cần nhớ trong bài học ngày hôm nay. Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của hai số và cộng với bình phương của số thứ hai. Chúng ta có công thức sau:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Hiệu hai bình phương
Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số nhân với tổng của hai số đó. Công thức của hiệu hai bình phương là:
A2 - B2 = (A - B)(A + B)
Lập phương của một tổng
Lập phương của một tổng được tính bằng công thức sau:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Từ công thức trên, ta có thể thấy, lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng tiếp với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.
Lập phương của một hiệu
Lập phương của một hiệu được tính bằng công thức sau:
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
Ta thấy, lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất trừ cho ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất và bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.
Tổng hai lập phương
Hằng đẳng thức đáng nhớ tiếp theo mà các em cần nắm chắc đó chính là tổng hai lập phương. Công thức tính tổng hai lập phương như sau:
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
Công thức này giải thích như sau: Tổng của hai lập phương sẽ bằng tích của số thứ nhất cộng với số thứ hai nhân với bình phương số thứ nhất trừ cho tích số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.
Hiệu hai lập phương
Hiệu hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai. Công thức hiệu hai lập phương như sau:
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Lý thuyết cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài luyện tập
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (2x - 1)3
b) (x + 4)3
c) (x - 2)2
d) (2x + 1)2
e) x3 + 64
f) 8x3 - 27
Lời giải:
a) (2x - 1)3
= (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13
= 8x3 -12x2 + 6x - 1.
b) (x + 4)3
= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= x3 + 12x2 + 48x + 64.
c) (x - 2)2
= x2 - 2.x.2 + 22
= x2 - 4x + 4.
d) (2x + 1)2
= (2x)2 + 2.2x.1 + 12
= 4x2 + 4x + 1.
e) x3 + 64
= x3 + 43
= (x + 4)(x2 + 4x + 42)
= (x + 4)(x2 + 4x + 16).
f) 8x3 - 27
= (2x)3 - 33
= (2x - 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32]
= (2x - 3)(4x2 + 6x + 9).
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức A, B dưới đây:
a) A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48
b) B = x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101
Lời giải:
a) A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48
Ta có: A = A = x3 + 6x2 + 12x + 8
= x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23
= (x + 2)3
Với x = 48 ta có giá trị của biểu thức A là:
A = (48 + 3)3 = 503 = 125000
b) B = x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101
Ta có: B = x3 - 3x2 + 3x - 1
= x3 - 3. x2.1 + 3.x.12 - 13
= (x - 1)3
Với x = 101 ta có giá trị biểu thức B là:
B = (101 - 1)3 = 1003 = 1000000.
Bài 3. Tính nhanh
a) 222
b) 992
c) 1993
d) 1013
e) 19.21
Lời giải:
a) 222
= (20 + 2)2
= 202 + 2.20.2 + 22
= 400 + 80 + 4
= 484.
b) 992
= (100 - 1)2
= 1002 - 2.100.1 + 12
= 10000 - 200 + 1
= 9801.
c) 1993
= (200 -1)3
= 2003 - 3.2002.1 + 3.200.12 - 13
= 8000000 - 120000 + 600 - 1
= 7880599.
d) 1013
= (100 + 1)3
= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13
= 1000000 + 30000 + 300 + 1
= 1030301.
e) 19.21
= (20 - 1)(20 + 1)
= 202 - 12
= 400 - 1
= 399.
Bài 4. Rút gọn biểu thức:
a) A = (3x - 1)3 - 4x(x - 2) + (2x - 1)2
b) B = (x + 1)3 - 2x2(x - 2) + x3
Lời giải:
a) A = (3x - 1)3 - 4x(x - 2) + (2x - 1)2
= (3x)3 - 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 - 13 - 4x2 + 8x + 4x2 - 4x + 1
= 27x3 - 27x2 + 9x -1 + 4x + 1
= 27x3 - 27x2 + 13x
b) B = (x + 1)3 - 2x2(x - 2) + x3
= x3 + 3x2 + 3x + 1 - 2x3 + 4x2 + x3
= 7x2 + 3x + 1.
Bài luyện tập
Lưu ý khi làm bài tập về đẳng thức và hằng đẳng thức
Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình Toán lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các cấp học sau này. Chính vì thế, các em cần hiểu sâu và nắm chắc những kiến thức cơ bản mà bài viết cung cấp bên trên. Bên cạnh đó, cũng cần chăm chỉ luyện tập các dạng bài tập cơ bản để ghi nhớ kiến thức lâu hơn, cũng như tăng khả năng tư duy cho bản thân.
Lưu ý khi làm bài tập về đẳng thức và hằng đẳng thức
Tham khảo thêm:
Bất đẳng thức trong tam giác? Quan hệ giữa ba cạnh tam giác
Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác
Toán 7 - Đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch
Tạm kết
Bài viết trên đã tổng hợp những hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình toán lớp 8. Đây là kiến thức khá quan trọng, sẽ còn theo các em lên các lớp cao hơn. Do vậy, các em cần nắm vững kiến thức cơ bản để có thể thành thạo và học tốt chương trình Toán ở các cấp học lớn hơn. Chúc các em luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi những bài viết mới của Cmath nhé!