1. Lý thuyết về tích vô hướng của hai vectơ

1.1. Góc giữa hai vectơ

Góc giữa 2 vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn tương tự góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.

Nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không thì góc giữa hai véc tơ đó không xác định (đôi khi một số tài liệu cũng coi góc giữa hai véc tơ đó bằng 0). Còn trong trường hợp cả 2 véc tơ đều khác véc tơ không thì ta tiến hành đưa về chung gốc.

Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Lấy A là một điểm bất kì, gọi B là điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ là điểm sao cho. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Rõ ràng từ định nghĩa trên ta suy ra được góc giữa hai véc tơ có một số tính chất. Chẳng hạn:

• Góc giữa hai véc tơ bằng 0º khi và chỉ khi hai véc tơ đó cùng chiều.

• Góc giữa hai véc tơ bằng 180º khi và chỉ khi hai véc tơ đó ngược chiều.

• Góc giữa hai véc tơ bằng 90º khi và chỉ khi hai véc tơ đó vuông góc.

Cách tính góc giữa 2 vecto trong Oxyz

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto giúp bạn có thể tính được các bài toán cơ bản một cách nhanh chóng nhất. Dưới đây là công thức tổng quát ứng dụng cho các vecto trong không gian. Để tính được góc giữa hai vecto, sử dụng công thức sau để tính cosin của góc rồi từ đó đổi thành số đo nếu đề bài yêu cầu.

Cho hai vecto $\vec{u}(\vec{x}; \vec{y}; \vec{z})$ và $\vec{v}(\vec{x'}; \vec{y'}; \vec{z'})$, góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ được tính theo công thức:

$cos(\vec{u};\vec{v})= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left |\vec{u} \right |.\left |\vec{v} \right |}=\frac{x.x'+y.y'+z.z'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}$

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 véc tơ bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng:

Cho hai vecto $\vec{a}=(x_{1};y_{1};z_{1}) , \vec{b}=(x_{2};y_{2};z_{2})$. Khi đó:

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\vec{a}.\vec{b}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$

1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó.

- Cho đường thẳng d. Ta có vecto $\vec{u}$ khác vecto 0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d.

- Nếu là VTCP của d thì $k.\vec{u}$ cũng là VTCP của d.

- VTCP và VTPT vuông góc với nhau. Nên suy ra ta có

Nếu: $\vec{u}=(a, b)$

Thì: $\vec{n}= (-b . a)$

Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại.

- Như vậy ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó.

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d₁, d₂. Gọi $\vec{u_{1}}=(a_{1}; b_{1}; c_{1}),\vec{u_{2}}=(a_{2}; {b_{2}}; c_{2})$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_{1}, d_{2}$

Khi đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức:

$Cos (d_{1}, d_{2}) = \left |cos(\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) \right | = \frac{u_{1}.u_{2}}{u_{1}.u_{2}} = \frac{\left |a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2} \right |}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập về vector ngay

2. Hai đường thẳng vuông góc với nhau

Cùng tìm hiểu hai đường thẳng vuông góc lớp 11 với định nghĩa và tính chất của nó nhé!

2.1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90^o.

2.2. Tính chất

Tính chất hai đường thẳng vuông góc được trình bày như sau:

Cho hai đường thẳng a và b có vecto chỉ phương lần lượt là: $\vev{u_{1}} , \vec_{u_{2}}$

- Ta có a vuông góc với b khi và chỉ khi tích vô hướng của vecto chỉ phương hai đường thẳng bằng 0

$\vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}=0$.

- Nếu a / / b mà c ⊥ a thì c ⊥ b

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

3. Các dạng toán về hai đường thẳng vuông góc

3.1. Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

- Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d₁, d₂ lần lượt song song (có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d₁ và d₂.

Góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.

Lưu ý : Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác

$cosA= \frac{b^{2}+c^{2} -a^{2}}{2bc}$

- Cách 2: Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

$cos(\varphi )=\left |cos(\vec{u}, \vec{v} \right )|=\frac{\vec{u}. \vec{v}}{\left |\vec{u} \right |.\left |\vec{v} \right |}$

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y - 8 = 0 và 4x - 2y + 10 = 0.

A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰

Đường thẳng 3x + y - 8 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n}_{a} = (3;1)$

Đường thẳng 4x − 2y + 10 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n}_{b} = (4;-2)$

$cos(d_{1},d_{2})=\left |cos(\vec{n_{1};\vec{n_{2}}}) \right |=\frac{\left | \vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} \right |}{\left | \vec{n_{1}} \right |.\left | \vec{n_{2}} \right |}=\frac{\left |3.4+1.(-2) \right |}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

=> (d₁,d₂) = 45^o

Ví dụ 2: Tính góc giữa 2 đường thẳng (a): 3x + y− 2 = 0 và (b) 2x −y + 39 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng 3x + y − 2 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n_{a}} = (3;1)$

Đường thẳng 2x − y +39 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n_{b}} = (2;-1)$

$cos(a,b)=\left |cos(\vec{n_{a};\vec{n_{b}}}) \right |=\frac{\left | \vec{n_{a}}. \vec{n_{b}} \right |}{\left | \vec{n_{a}} \right |.\left | \vec{n_{b}} \right |}=\frac{\left |3.2+1.(-1) \right |}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

=> (a,b) = 45^o

3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là u và v. Ta áp dụng một số cách sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng.

- từ vuông góc tới song song,

- đường trung trực , đường cao,

- định lý Pitago đảo

- tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác

2. Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian:

Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º.

3. Sử dụng công thức $cos(\vec{u}, \vec{v})$: với $\vec{u}, \vec{v}$ là vecto chỉ phương của 2 đường thẳng a và b.

- Nếu $(\vec{u}, \vec{v})$

- Nếu $(\vec{u}, \vec{v})$ > 90º thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng 180 - $cos(\vec{u}, \vec{v})$

4. Ta chứng minh tích vô hướng $\vec{u}.\vec{v} = 0$ trong đó

$\vec{u}$ và $\vec{v}$ lần lượt là vector chỉ phương của a và b

5. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b.

6. Sử dụng hệ quả của định lý cosin: Trong tam giác ABC với AB = c; AC = b; BC = a

Ta có định lý cosin như sau:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cosA$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cosB$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cosC$

Từ đó suy ra:

$cosA = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$cosB = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cosC = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Hệ quả này có ý nghĩa rất quan trọng: "Trong một tam giác ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh".

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$. Chứng minh rằng: SA ⊥ BC

Giải:

Xét $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.(\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}) = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$

$= \left |\overrightarrow{SA} \right |.\left |\overrightarrow{SC} \right | cos \widehat{ASC} - \left |\overrightarrow{SA} \right |.\left |\overrightarrow{SB} \right | cos \widehat{ASB} = 0$

=> SA ⊥ BC

Ví dụ 4: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh AB vuông góc với CD.

Giải

Lấy M là trung điểm của CD.

Vì $\Delta$ACD đều nên AM ⊥ CD $\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$

Tương tự có:

$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD}=0$

Vì thế, ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow (\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}=0+0=0$

Suy ra AB ⊥ CD

4. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án đúng: C

Phần dẫn ví dụ 2 là câu hỏi. phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.

Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.

Câu 2: Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:

A. thuộc một mặt phẳng

B. vuông góc với nhau

C. song song với một mặt phẳng

D. song song với nhau

Đáp án đúng: C

Phương án A sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau

Phương án B sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau

Phương án D sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau

Phương án C đúng vì chúng đồng phẳng

Câu 3: Cho một hình tứ diện ABCD, được biết AB = CD = a, $IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (trong đó I và J lần lượt là các trung điểm của đoạn BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30°

В. 45°

C. 60°

D. 90°

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng: C

Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AC và BC.

Та сó:

$\left\{\begin{matrix}
MI=NI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\\
MI//AB//CD//NI
\end{matrix}\right.$

→ MINJ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: $\widehat{MIN} = 2 \widehat{MIO}$

Xét ΔMIO vuông góc tại góc O , ta có:

$cos \widehat{MIO} = \frac{IO}{MI} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{2}$

=> $\widehat{MIO}$ = 30° → $\widehat{MIN}$ = 60°

Mà: (AB, CD) = (IM,IN) = $\widehat{MIN}$ = 60°

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc bằng (MN, SC)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Giải:

Câu 5: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b.

B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.

D. Nếu a và b cùng nằm trong mp(a)//c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.

D sai do: giả sử a vuông góc với c, b song song với c, khi đó góc giữa a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°.

Do đó B đúng.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác không phải là hình thang.

Giải:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{\begin{matrix}
(MNPQ)//AB \\
(MNPQ)\cap (ABC)=MQ
\end{matrix}\right.$

=> MQ // AB.

Tương tự ta có:

MN // CD, NP // AB, QP // CD.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

lại có MN ⊥ MQ (do AB ⊥ CD).

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án đúng: C

Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa (IE, JF) bằng:

A. 30^o B. 45^o C. 60^o D. 90^o

Giải

Từ giả thiết ta có:

- IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên: IJ // AB; IJ = ½ AB

- EF là đường trung bình của tam giác ABD nên:

EF // AB; EF = ½ AB

$EF//AB;EF=\frac{1}{2}AB$

- Suy ra: tứ giác IJEF là hình bình hành (1)

- Lại có: IF là đường trung bình của tam giác ACD nên:

$IF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$ (vì AB = CD) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác IJEF là hình thoi.

⇒ IE ⊥ JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi).

⇒ Do đó, góc giữa hai đường thẳng IE và JF là: 90°.

Đáp án đúng: D

Câu 8. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi lần lượt M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy:

- MN // PQ (// AB)

- NP // MQ (// CC’)

MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB nên

- CH ⊥ AB

- C'H ⊥ AB

Suy ra AB ⊥ (CHC')

Do đó AB ⊥ CC'

Ta lại có:

- PQ // AB

- PN // CC’

- AB ⊥ CC’

$\Rightarrow$ PQ ⊥ PN

Mà MNPQ là hình bình hành (chứng minh trên)

Kết luận tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Đáp án đúng: B

Câu 9. Cho tứ diện ABCD với $AC = \frac{3}{2}AD, \widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{o}, CD = AD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ?

A. cos$\varphi$ = 3/4 B. $\varphi$= 60^o C. $\varphi$= 30^o D.cos$\varphi$=1/4

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB }. (\overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AC})$
$= \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AC}$

= AB.AD.cos60^o - AB.AC.cos60^o

= ½ AB.AD - ½ AB.AC = AB/2. (AD - AC)

= -¼ AB.AD = -¼ AB.CD (1)

Lại có: $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$ = AB.CD.cos($\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$) (2)

Từ (1) và (2) => cos ($\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$) = -¼ => cos$\varphi$=1/4

Đáp án đúng: D

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat{ASB} =\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ?

A. 60^o B. 120^o C. 45^o D.90^o

Giải

Chọn D

Ta có: SA = SB = SC nên:

$\Delta SAB=\Delta SBC=\Delta SCA$ ( c- g-c)

$\Rightarrow$ AB = BC = CA

- Do đó, tam giác ABC đều.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

- Vì hình chóp S.ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G. Hay SG ⊥ (ABC).

Ta có:

- AC ⊥ BG

- AC ⊥ SG

$\Rightarrow$AC ⊥ (SBG)

Suy ra AC ⊥ SB

- Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 90^o

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm ngay từ bây giờ

Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán 11 là phần kiến thức rất quan trọng, là tiền đề cho các dạng toán sau này. VUIHOC đã trình bày chi tiết về lý thuyết cũng như bài tập vận dụng về hai đường thẳng vuông góc giúp các em ôn tập dễ dàng hơn. Để tìm hiểu về các bài viết hay khác, các em có thể truy cập vào Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ ngay trung tâm hỗ trợ ngay để ôn tập được thật nhiều kiến thức nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Bài viết tham khảo thêm:

Vecto trong không gian

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng