Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao 3 đường trung trực của tam giác. Đây là điểm mà từ đó khoảng cách đến ba đỉnh của tam giác là như nhau, và nó là tâm của đường tròn chứa cả ba đỉnh của tam giác.
Bài tập tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là một trong những dạng toán trọng tâm được học ở chương trình THCS và thường xuất hiện vào các bài kiểm tra thi vào 10. Vậy công thức tính bán kính đường tròn như thế nào, cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp là gì? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
- 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
- 2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?
- 3. Tính chất đường tròn ngoại tiếp
- 4. Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
- 5. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
- 6. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
- 7. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
- 8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
- 9. Bài tập tự luyện tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?
Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực).
3. Tính chất đường tròn ngoại tiếp
- Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
- Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.
4. Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng tích của 3 cạnh tam giác chia bốn lần diện tích:
\(R=(a \times b \times c): 4 S\)
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc \(\mathrm{A}\)
\(r_{a}=\frac{2 S}{b+c-a}=\frac{S}{p-a}=p \cdot \tan \frac{A}{2}\)
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc B
\(r_{b}=\frac{2 S}{c+a-b}=\frac{S}{p-b}=p \cdot \tan \frac{B}{2}\)
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc C
\(r_{c}=\frac{2 S}{a+b-c}=\frac{S}{p-c}=p \cdot \tan \frac{C}{2}\)
5. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có bốn đỉnh các đều một điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
- Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
- Cách 1
+ Bước 1: Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R
+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right.\)
- Cách 2:
+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền
6. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.
Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:
+ Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)
+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
+ Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
+ Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} - 2ax_{A} - 2by_{A} + c = 0\\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} - 2ax_{B} - 2by_{B} + c = 0\\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} - 2ax_{C} - 2by_{C} + c = 0 \end{matrix}\right.\)
=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
7. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho tam giác ABC
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC
Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
\(R=\frac{a.b.c}{4S}\)
8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5)
Cách giải:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:
\((C) x^2 + y^2 -2ax -2by +c =0\)
Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 2a-4b+c=-5\\ 12a+2b-c=37\\ 4a-10b+c=-29 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=5\\ c=9 \end{matrix}\right.\)
Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:
\(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) hoặc \((x-3)^2+(y-5)^2=25\)
Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn cách giảiGọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\(\underset{IA}{\rightarrow} = (1-x;2-y) \Rightarrow IA= \sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}\)
\(\underset{IB}{\rightarrow} = (-1-x;-y) \Rightarrow IB= \sqrt{(1-x)^2+y^2}\)
\(\underset{IC}{\rightarrow} = (3-x;2-y) \Rightarrow IC= \sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}\)
Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:
\(IA=IB=IC \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1-x)^2 + (2-y)^2 = (-1-x)^2 +y^2\\ (1-x)^2 + (2-y)^2 = (3-x)^2 + (2-y)^2 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1)
Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Ta có: \(p=\frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 7 + 8}{2} = 9\)
Áp dụng công thức Herong:
\(S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{9(9-3)(9-7)(9-8)} = 6\sqrt{3}\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
\(R=\frac{AB.AC.BC}{4S} = \frac{3.7.8}{4.6\sqrt{3}}\)
VD 4: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Cách giải:
Áp dụng định lý Pytago ta có:
PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.
Gọi D là trung điểm MP => ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.
=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.
Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.
VD 5: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Cách giải
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AD giao với CE tại O
Ta có: Tam giác ABC đều => Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác.
Suy ra: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
∆ABC có CE là đường trung tuyến => CE cũng là đường cao.
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:
CE2 = AC2 - AE2 = 62 - 32 = 27 => CE =3√3cm.
Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC => CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm.
Suy ra: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm.
VD5: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN=6 cm, N P=8 cm,. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Giải:
Đáp án bài tập 1
Áp dụng định lý Pytago ta có:\(P Q=1 / 2 M P=>N Q=Q M=Q P=5 \mathrm{~cm}\)
Gọi D là trung điểm \(M P=>\Delta M N P\) vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(M P. \Rightarrow \mathrm{Q}\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \mathrm{MNP}.\)
Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \mathrm{MNP}\) có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính \(\mathrm{R}=\mathrm{MQ}=5 \mathrm{~cm}.\)
9. Bài tập tự luyện tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác góc vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K.
a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm.
a, Chứng minh rằng tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Cho bán kính đường tròn tâm I là 2cm góc BAC = 500. Tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IEHF
Bài 5: Cho một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân ABC vuông cân tại A và một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ấy. Tính \(\frac{R}{r}\)
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA và Mb với đường tròn (O). Qua M kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O cắt đường tròn tại hai điểm C và D sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của dây CD. Khi đó MAOIB có là ngũ giác nội tiếp hay không? Nếu có hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB = 10cm, BC = 13cm, CD = 15cm. Chứng minh hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn, tìm bán kính đường tròn đó.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, biết rằng các tia AB, CD cắt nhau tại E, các tia AD và BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
a) AE + CF = AF + CE.
b) BE + BF = DE + DF.